Grundfunktionen

Aus Informatik

Inhaltsverzeichnis

1 Konjunktion
2 Disjunktion
3 Negation
4 Zusammenfassung

Die folgende Tatsache ist für den Aufbau logischer Schaltung und besonderer Bedeutung.

Jede Schaltfunktion lässt sich auf die drei Grundfunktionen AND, OR und NOT zurückführen. Diese Grundfunktionen – häufig auch Grundverknüpfungen genannt - bilden damit ein vollständiges System und sind selbst nicht weiter "zerlegbar"

In der Schaltalgebra heißt eine Menge von Verknüpfungen vollständig, wenn sich jede Schaltfunktion allein mit Hilfe von Verknüpfungen dieser Menge darstellen lässt

Konjunktion

Definition: Konjunktion

Als Konjunktion (AND-Verknüpfung, UND-Verknüpfung) wird eine boolesche Funktion bezeichnet, die das folgende Funktionsverhalten besitzt:

$\begin{array}{c c | c} x_1 & x_2 & x_1 \land x_2 \\ \hline 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array}$

Eine Konjunktion wird durch das Verknüpfungszeichen $\land$ gekennzeichnet. Neben der Darstellung $x_1 \land x_2$ (lies: "x1 und x2") sind allerdings auch $A N D (x 1, x 2)$ , $U N D (x 1, x 2)$ und $x 1 x 2$ möglich.

Eine elektronische Schaltung zur Realisierung der Konjunktion wird UND-Schaltung, UND-Glied oder auch AND-Gatter genannt.

Eine Konjunktion besitzt mindestens zwei Eingänge, da aber auch mehr Eingänge zulässig sind, gilt allgemein:

Der Ausgang einer UND-Schaltung hat nur dann den Zustand 1, wenn alle Eingänge den Zustand 1 haben. In allen anderen Fällen hat der Ausgang den Zustand 0.

Disjunktion

Definition: Disjunktion

Als Disjunktion (OR-Verknüpfung, ODER-Verknüpfung) wird eine boolesche Funktion bezeichnet, die das folgende Funktionsverhalten besitzt:

$\begin{array}{c c | c} x_1 & x_2 & x_1 \lor x_2 \\ \hline 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array}$

Eine Disjunktion wird durch das Verknüpfungszeichen $\lor$ gekennzeichnet. Neben der Darstellung $x_1 \lor x_2$ (lies: "x1 oder x2") sind allerdings auch $O R (x 1, x 2)$ und $O D E R (x 1, x 2)$ möglich.

Eine elektronische Schaltung zur Realisierung der Disjunktion wird ODER-Schaltung, ODER-Glied oder auch OR-Gatter genannt.

Eine Disjunktion besitzt mindestens zwei Eingänge, da aber auch mehr Eingänge zulässig sind, gilt allgemein:

Der Ausgang einer ODER-Schaltung hat den Zustand 1, wenn wenigstens ein Eingang den Zustand 1 hat.

... oder anders ausgedrückt ...

Der Ausgang einer ODER-Schaltung hat nur dann den Zustand 0, wenn alle Eingänge den Zustand 0 haben.

Negation

Definition: Negation

Als Negation (NOT-Verknüpfung, NICHT-Verknüpfung) wird eine einstellige boolesche Funktion bezeichnet, die das folgende Funktionsverhalten besitzt:

$\begin{array}{c | c} x & \overline {x} \\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{array}$

Eine Negation wird durch das Verknüpfungszeichen $\overline {x}$ (Überstrich) gekennzeichnet. Neben der Darstellung $\overline {x}$ (lies: "nicht x") sind allerdings auch $N O T (x)$ , $N I C H T (x)$ und $\neg x$ möglich.

$\overline {x}$ kann auch als Negat oder Komplement bezeichnet werden.

Eine elektronische Schaltung zur Realisierung der Negation wird NICHT-Schaltung, NICHT-Glied, NOT-Gatter, Negator oder auch Inverter genannt.

Der Ausgang einer NICHT-Schaltung hat stets den Zustand, den der Eingang nicht hat.

Zusammenfassung

Grundfunktion	Schaltsymbol (DIN 40700)	schaltalgebraische Darstellung	Funktionstabelle	Testschaltung
Konjunktion (AND)		$y = x_1 \land x_2$	$\begin{array}{c c \| c} x_1 & x_2 & x_1 \land x_2 \\ \hline 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array}$
Disjunktion (OR)		$y = x_1 \lor x_2$	$\begin{array}{c c \| c} x_1 & x_2 & x_1 \lor x_2 \\ \hline 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array}$
Negation (NOT)		$y = \overline {x}$	$\begin{array}{c \| c} x_1 & \overline {x} \\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0\\ \end{array}$

Bei einer Zusammenschaltung von NICHT-Gliedern mit UND-Gliedern bzw. ODER-Gliedern braucht die NICHT-Verknüpfung nicht gesondert dargestellt zu werden. Stattdessen kann man die Negation am jeweiligen Eingang oder Ausgang durch einen kleinen Kreis (Negationspunkt) kenntlich machen.